CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Tarea semanal para 6to

Imprimo la tarea, la resuelvo y entrego con nombre el miércoles 19 de agosto.

Estudio para poder resolver los ejercicios. Recuerdo que la calculadora ya es una herramienta más de las tareas de matemática.

EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144   


Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos

¿Qué son los números primos?: Son los números que sólo son divisibles por sí mismos o por el número 1. Por ejemplo: 7 es un número primo. Porque sólo se puede dividir (división exacta) por 7 o por 1. En su "descomposición" sólo están el 7 y el 1. 7 | 7 1 | 1 Lo mismo pasa con los número 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, etc.  Precisamente, ésos son los números que puedo poner en la columna derecha cuando descompongo un número. No puedo poner 4, 6, 8, 9, 10, etc., porque no son números primos. A los números que no son primos se los llama "compuestos" (exceptuando el 1 y 0, que no son primos ni compuestos). En su descomposición aparecen otros números menores a ellos.

120 | 2               144 | 2
  60 | 2                 72 | 2
  30 | 2                 36 | 2
  15 | 3                 18 | 2
    5 | 5                    9 | 3
    1 | 1                    3 | 3
              1 | 1       

  

¿Cómo se descomponen los números?  Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 Resulta ser el número 2. Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60. Y pongo 60 en la siguiente fila a la izquierda. Así: 120 | 2  60 | 2 Ahora busco el número más chico que divida a 60. También es el número 2, lo pongo a la derecha del 60. Divido 60 : 2 = 30, o sea que pongo 30 en la siguiente fila, bajo el 60. Así: 120 | 2  60 | 2  30 | 2 Luego sigo haciendo lo mismo, hasta llegar al número 1. 120 | 2  60 | 2  30 | 2  15 | 3   5 | 5   1 | 1 Los números de la columna derecha son los factores primos que forman la descomposición o factorización del número 120. 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5       Como 2.2.2 es igual a 23 , también podemos decir que la descomposición del 120 es: 120 = 23 . 3 . 5   Lo convertí en una multiplicación de números primos.

120 = 2³.3.5                        144 = 2⁴.3²

Que es lo mismo que:             Que es lo mismo que:       

120 = 2.2.2.3.5                     144 = 2.2.2.2.3.3

Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente (la  menor cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derecha) 

Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece.

MCD = 2³.3 = 8.3 = 24 

MCD (120, 144)= 24

1 En esta página pueden practicar un rato:

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/03/05.htm

2Recuerdo que cuando busco el MCD entre varios números; la respuesta  ES UN NUMERO y no una expresión

En cambio cuando descompongo en números primos un solo número la respuesta que corresponde es:

Una expresión: el producto de los factores primos obtenidos (o la multiplicación de los factores primos)

Recuerdo que “producto” significa multiplicación.

3 Observa la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números:

A = 2² x 3 x 5²

 B = 2² x 3 x 5

C = 2³ x 3² x 5² x 7

a) Calcula el valor de cada uno de estos números

A =………..      B =…………    C =……………..

4 Descompone en factores primos:

1400

2560

3475